فعالیت ۱ اندازه ضلع $PQ$ حسابان یازدهم
دایره مقابل به مرکز $O$ و به شعاع $r = ۲ \text{ cm}$ داده شده است. اندازه ضلع $PQ$ در مثلث قائمالزاویه $\triangle OPQ$ را با استفاده از نسبتهای مثلثاتی سال گذشته به دست آورید.
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۹۲ حسابان یازدهم
سلام! این فعالیت یک مرور بر **نسبتهای مثلثاتی** و مقدمهای برای بحث اندازهگیری زاویه بر حسب رادیان است. در مثلث $\triangle OPQ$، ضلع **$OP$ شعاع** دایره و وتر مثلث قائمالزاویه است. 📐
### گام اول: شناسایی اجزای مثلث
* **زاویه مورد نظر**: $\alpha = ۳۰^{\circ}$
* **وتر**: $OP = r = ۲ \text{ cm}$
* **ضلع روبرو به زاویه $\alpha$**: $PQ$ (مجهول)
* **ضلع مجاور به زاویه $\alpha$**: $OQ$
### گام دوم: استفاده از نسبت مثلثاتی سینوس
**سینوس** هر زاویه برابر است با نسبت ضلع روبرو به وتر:
$$\sin \alpha = \frac{\text{ضلع روبرو}}{\text{وتر}} = \frac{PQ}{OP}$$
$$\sin ۳۰^{\circ} = \frac{PQ}{۲}$$
### گام سوم: محاسبه $PQ$
مقدار $\sin ۳۰^{\circ}$ برابر $\frac{۱}{۲}$ است:
$$\frac{۱}{۲} = \frac{PQ}{۲}$$
$$PQ = ۲ \times \frac{۱}{۲} = \mathbf{۱} \text{ cm}$$
**نتیجه**: اندازه ضلع $PQ$ برابر **۱ سانتیمتر** است.
فعالیت ۲ طول کمان و نسبت آن به شعاع حسابان یازدهم
با توجه به اینکه کمان روبهرو ($\widehat{PA}$) به زاویه $\alpha = ۳۰^{\circ}$ برابر $\frac{۱}{۱۲}$ کل محیط دایره است (چرا؟) میتوان طول کمان $\widehat{PA}$ را به صورت زیر به دست آورد:
$$\widehat{PA} = \frac{۱}{۱۲} \times (\text{محیط دایره}) = \frac{۱}{۱۲} \times ۲\pi r = \frac{۱}{۱۲} \times ۲\pi(۲) = \mathbf{\frac{\pi}{۳}} \text{ cm}$$
اکنون به مرکز $O$ دایرههای دیگری به شعاعهای ۱ و ۳ سانتیمتر رسم میکنیم (شکل روبهرو).
الف) مطابق فرمول بالا طول کمانهای $\widehat{P'A'}$ و $\widehat{P''A''}$ را که روبهرو به زاویه $\alpha = ۳۰^{\circ}$ هستند، به دست آورید.
$$\widehat{P'A'} = \dots$$
$$\widehat{P''A''} = \dots$$
ب) در هر دایره نسبت طول کمان روبهرو به زاویه $\alpha$ به شعاع آن دایره را محاسبه کنید. این نسبتها با هم چه رابطهای دارند؟
$$\frac{\widehat{PA}}{OP} = \dots \quad \frac{\widehat{P'A'}}{OP'} = \dots \quad \frac{\widehat{P''A''}}{OP''} = \dots$$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۲ صفحه ۹۲ حسابان یازدهم
این فعالیت به شما نشان میدهد که **نسبت طول کمان به شعاع**، برای یک زاویه مرکزی ثابت، همواره یک مقدار ثابت است و این نسبت، تعریف **اندازه زاویه بر حسب رادیان** است. 📏
### ۱. دلیل $\widehat{PA}$ برابر $\frac{۱}{۱۲}$ محیط دایره
* **توضیح**: زاویه مرکزی کل دایره $۳۶۰^{\circ}$ است. چون زاویه $\alpha = ۳۰^{\circ}$ است:
$$\frac{\alpha}{\text{کل زاویه}} = \frac{۳۰^{\circ}}{۳۶۰^{\circ}} = \mathbf{\frac{۱}{۱۲}}$$
* طول کمان متناظر با زاویه $\alpha$ برابر با $\frac{۱}{۱۲}$ محیط کل دایره است.
---
### الف) محاسبه طول کمانها
* **دایره اول**: $\widehat{PA}$ (شعاع $r = ۲ \text{ cm}$) $mplies \widehat{PA} = \frac{\pi}{۳} \text{ cm}$ (داده شده)
* **دایره دوم**: $\widehat{P'A'}$ (شعاع $r' = ۱ \text{ cm}$)
$$\widehat{P'A'} = \frac{۱}{۱۲} \times ۲\pi r' = \frac{۱}{۱۲} \times ۲\pi(۱) = \mathbf{\frac{\pi}{۶}} \text{ cm}$$
* **دایره سوم**: $\widehat{P''A''}$ (شعاع $r'' = ۳ \text{ cm}$)
$$\widehat{P''A''} = \frac{۱}{۱۲} \times ۲\pi r'' = \frac{۱}{۱۲} \times ۲\pi(۳) = \mathbf{\frac{\pi}{۲}} \text{ cm}$$
---
### ب) محاسبه نسبت طول کمان به شعاع و نتیجهگیری
| دایره | طول کمان | شعاع ($r$) | نسبت $\frac{\text{طول کمان}}{r}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| **اول** | $\widehat{PA} = \frac{\pi}{۳}$ | $OP = ۲$ | $\frac{\frac{\pi}{۳}}{۲} = \mathbf{\frac{\pi}{۶}}$ |
| **دوم** | $\widehat{P'A'} = \frac{\pi}{۶}$ | $OP' = ۱$ | $\frac{\frac{\pi}{۶}}{۱} = \mathbf{\frac{\pi}{۶}}$ |
| **سوم** | $\widehat{P''A''} = \frac{\pi}{۲}$ | $OP'' = ۳$ | $\frac{\frac{\pi}{۲}}{۳} = \mathbf{\frac{\pi}{۶}}$ |
**نتیجهگیری**:
**این نسبتها با هم برابرند.**
$$\mathbf{\frac{\widehat{PA}}{OP} = \frac{\widehat{P'A'}}{OP'} = \frac{\widehat{P''A''}}{OP''} = \frac{\pi}{۶}}$$
این نسبت ثابت، **اندازه زاویه مرکزی $\mathbf{\alpha = ۳۰^{\circ}}$ بر حسب واحد رادیان** است. به طور کلی، برای هر زاویه مرکزی $\theta$ و دایرهای به شعاع $r$، طول کمان $l$ از رابطه $athbf{l = r\theta}$ (که $\theta$ بر حسب رادیان است) محاسبه میشود.
فعالیت ۳ تعریف زاویه یک رادیان حسابان یازدهم
در یک دایره به شعاع $r$، مانند شکل زیر، طول کمان روبهرو به زاویه $\theta$ ($l$) برابر طول شعاع دایره است. نسبت طول کمان به شعاع چقدر است؟ اندازه زاویه $\theta$ تقریباً چند درجه است؟ (از نقاله استفاده کنید)
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۳ صفحه ۹۲ حسابان یازدهم
این فعالیت به صورت مستقیم به **تعریف زاویه یک رادیان** میپردازد.
### ۱. نسبت طول کمان به شعاع
* **داده**: طول کمان ($l$) برابر طول شعاع ($r$) است: $athbf{l = r}$
* **نسبت**: نسبت طول کمان به شعاع برابر است با:
$$\frac{l}{r} = \frac{r}{r} = \mathbf{۱}$$
### ۲. تعریف زاویه یک رادیان
* **نتیجه**: زاویهای که نسبت طول کمان روبهرو به شعاع آن برابر با **۱** باشد، زاویه **یک رادیان** ($athbf{۱ \text{ rad}}$) نامیده میشود.
### ۳. تبدیل رادیان به درجه (مقدار تقریبی)
رابطه بین رادیان و درجه: $\mathbf{\pi \text{ رادیان} = ۱۸۰^{\circ}}$.
$$\theta (\text{درجه}) = \theta (\text{رادیان}) \times \frac{۱۸۰^{\circ}}{\pi}$$
$$\theta = ۱ \times \frac{۱۸۰^{\circ}}{\pi}$$
* **مقدار تقریبی $\pi$**: $\pi \approx ۳.۱۴۱۵۹$
$$\theta \approx \frac{۱۸۰^{\circ}}{۳.۱۴۱۵۹} \approx \mathbf{۵۷.۳^{\circ}}$$
**نتیجه**: اندازه زاویه $\theta$ تقریباً **۵۷.۳ درجه** است. (اگر با نقاله اندازهگیری شود، این مقدار تقریبی تأیید میشود.)
